Ummi Kalsum

Sabtu, 13 Juni 2020

Juni 13, 2020 No comments

INDUKSI MATEMATIKA

A. pengertian

induksi matematika adalah suatu tekhnik atau suatu cara umtuk membuktikan pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli

B. langkah-langkah induksi matematika

1. pengecekan

2. asumsi

3. pembuktian

C. Contoh Bilangan (termasuk jumlah deret)

Bukt noikan bahwa $1+3+5+\cdots +2n-1=n^{2}$ untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

S(n)=1+3+5+\cdots +2n-1=n^{2}

Langkah pembuktian pertama:
untuk $n=1$ , benar bahwa $\ S(1)=1^{2}=1$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk $n=k$ , yaitu

S(k)=1+3+5+\cdots +2k-1=k^{2}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

n=k+1

, yaitu

S(k+1)=1+3+5+\cdots +2k-1+2(k+1)-1=(k+1)^{2}

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa $k^{2}=1+3+5+...+2k-1$ sesuai dengan pengandaian awal

[1+3+5+\cdots +2k-1]+2(k+1)-1=k^{2}+2(k+1)-1

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

k^{2}+2(k+1)-1=(k+1)^{2}

\ k^{2}+2k+1=(k+1)^{2}

, ingat bahwa

(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1

\ (k+1)^{2}=(k+1)^{2}

(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, $S(n)$ benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n² karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Buktikan bahwa $1+2+3+4+5+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$ untuk setiap bilangan bulat positif adalah n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

S(n)=1+2+3+4+5+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}

Langkah pembuktian pertama:
untuk $n=1$ , benar bahwa $\ S(1)={\frac {1(1+1)}{2}}=1$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk $n=k$ , yaitu

S(k)=1+2+3+4+5+\cdots +k={\frac {k(k+1)}{2}}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

n=k+1

, yaitu

S(k+1)=1+2+3+4+5+\cdots +k+k+1={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa ${\frac {k(k+1)}{2}}=1+2+3+4+5+\cdots +k$ sesuai dengan pengandaian awal

[1+2+3+4+5+\cdots +k]+k+1={\frac {k(k+1)}{2}}+k+1

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

{\frac {k(k+1)}{2}}+k+1={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}

(k+1)({\frac {k}{2}}+1)={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}

(k+1)({\frac {k+2}{2}})={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}

https://youtu.be/EbSa2vcUbQU

Rabu, 10 Juni 2020

IRISAN KERUCUT

Juni 10, 2020 No comments

IRISAN KERUCUT

Irisan kerucut adalah irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang yang membentuk kurva dua-dimensi. Jenis kurva yang dapat terbentuk adalah lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.

Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama, yang disebut jari-jari lingkaran, ketitik tertentu yang disebut pusat lingkaran.Persamaan umum pada lingkara sebagai berikut :

Pusat lingkaran $(-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B)$
Jari-jari $\sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C}$

Persamaan lingkaran jika titik pusatnya diketahui:

irisan kerucut lingkaran

Posisi titik $P(x_1,x_2)$ terhadap lingkaran dengan persamaan $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ adalah:

P di dalam lingkaran jika $(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 < r^2$
P di lingkaran jika $(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 = r^2$
P di luar lingkaran jika $(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 > r^2$

Posisi titik $P{x_1,x2}$ terhadap lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ ditentukan dengan Kuasa K, dimana $K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C$ .

P di dalam lingkaran jika $K < r^2$
P di lingkaran jika $K = r^2$
P di luar lingkaran jika $K > r^2$

Posisi garis $y = mx + n$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ memiliki tiga kemungkinan titik potong. Hal ini ditentukan oleh diskriminan $D = b^2 - 4ac$ dari persamaan kuadrat sekutu antara garis dan lingkaran. Sehingga:

$D > 0$ , garis memotong lingkaran di dua titik
$D = 0$ , garis menyinggung lingkaran di satu titik
$D < 0$ , garis tidak memotong lingkaran.

Garis singgung yang melewati titik singgung $(x_1,y_1)$ dapat ditentukan persamaan garisnya dengan cara:

garis singgung yang melewati lingkaran

Persamaan garis singgung dengan gradien m yang menyinggung lingkaran dapat ditentukan dengan cara:

persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

Garis singgung dengan gradien m akan sejajar dengan garis h $(y = mx_h + n)$ jika $m = m_h$
Garis singgung dengan gradien m akan tegak lurus dengan garis h $(y = mx_h + n)$ jika $m = \frac{1}{m_h}$

Ummi Kalsum

Sabtu, 13 Juni 2020

Rabu, 10 Juni 2020

IRISAN KERUCUT

Lingkaran

Halaman

Pendidikan

Popular Posts

Recent Posts

Unordered List

Text Widget

Pages

Blog Archive

About me

Laporkan Penyalahgunaan

Mengenai Saya

Cari Blog Ini

recent posts

Pinterest

Flickr Images

Like us on Facebook