~ Ummi Kalsum

Sabtu, 13 Juni 2020

Juni 13, 2020 No comments

INDUKSI MATEMATIKA

A. pengertian

induksi matematika adalah suatu tekhnik atau suatu cara umtuk membuktikan pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli

B. langkah-langkah induksi matematika

1. pengecekan

2. asumsi

3. pembuktian

C. Contoh Bilangan (termasuk jumlah deret)

Bukt noikan bahwa $1+3+5+\cdots +2n-1=n^{2}$ untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n²!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

S(n)=1+3+5+\cdots +2n-1=n^{2}

Langkah pembuktian pertama:
untuk $n=1$ , benar bahwa $\ S(1)=1^{2}=1$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk $n=k$ , yaitu

S(k)=1+3+5+\cdots +2k-1=k^{2}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

n=k+1

, yaitu

S(k+1)=1+3+5+\cdots +2k-1+2(k+1)-1=(k+1)^{2}

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa $k^{2}=1+3+5+...+2k-1$ sesuai dengan pengandaian awal

[1+3+5+\cdots +2k-1]+2(k+1)-1=k^{2}+2(k+1)-1

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

k^{2}+2(k+1)-1=(k+1)^{2}

\ k^{2}+2k+1=(k+1)^{2}

, ingat bahwa

(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1

\ (k+1)^{2}=(k+1)^{2}

(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, $S(n)$ benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n² karena memenuhi kedua langkah pembuktian

Buktikan bahwa $1+2+3+4+5+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$ untuk setiap bilangan bulat positif adalah n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

S(n)=1+2+3+4+5+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}

Langkah pembuktian pertama:
untuk $n=1$ , benar bahwa $\ S(1)={\frac {1(1+1)}{2}}=1$

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk $n=k$ , yaitu

S(k)=1+2+3+4+5+\cdots +k={\frac {k(k+1)}{2}}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

n=k+1

, yaitu

S(k+1)=1+2+3+4+5+\cdots +k+k+1={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa ${\frac {k(k+1)}{2}}=1+2+3+4+5+\cdots +k$ sesuai dengan pengandaian awal

[1+2+3+4+5+\cdots +k]+k+1={\frac {k(k+1)}{2}}+k+1

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

{\frac {k(k+1)}{2}}+k+1={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}

(k+1)({\frac {k}{2}}+1)={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}

(k+1)({\frac {k+2}{2}})={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}

https://youtu.be/EbSa2vcUbQU

0 komentar:

Posting Komentar